两两互素

1. 概述

于 初等数论 中, 两两互素 要求一族整数中的任意两个都 互素. 这一条件强于所有整数的共同最大公因数为 , 并是 中国剩余定理 的典型假设.

2. 定义

定义 1 (两两互素)

设 , . 若对任意不同的 都有

则称 两两互素.

注记 2 (共同互素与两两互素)

条件 只表示这些整数 共同互素, 通常弱于 两两互素. 例如 的 共同最大公因数 为 , 但它们并非两两互素.

3. 例子

例子 3 (两两互素与非两两互素)

• 两两互素;
• 的 共同最大公因数 为 , 但 , 故它们不两两互素.

4. 相关性质

命题 4 (一个元素与其余元素之积互素)

设 且 , 两两互素. 则对任意 ：

证明 5 (一个元素与其余元素之积互素)

固定 . 由 两两互素 的定义, 与每个 都 互素. 反复应用 互素性对乘积的保持, 即得 与其余元素之积互素.

命题 6 (两两互素因数的乘积仍整除)

设 , . 若 两两互素, 且对每个 都有 , 则：

证明 7 (两两互素因数的乘积仍整除)

对 使用 数学归纳法. 当 时结论即为假设 . 假设 , 写 . 由 一个元素与其余元素之积互素, 与 互素. 又 , 故由 Euclid 引理的一般形式 得 . 因而 , 归纳完成.

5. 相关概念

• 互素
• 最大公因数
• 同余方程组

6. 术语翻译

中文	英文
两两互素	pairwise coprime

初等数论