公倍数

1. 概述

于 初等数论 中, 整数的公倍数 是同时作为若干个 整数 的 倍数 的整数. 非零整数的正公倍数中最小的一个给出 最小公倍数.

2. 定义

定义 1 (整数的公倍数)

设 , . 称 为 的 整数的公倍数, 当对每个 都有 .

3. 例子

例子 2 ( 与 的公倍数)

都是 与 的 公倍数.

4. 相关性质

命题 3 (公倍数的基本性质)

设 , , 则：

1. 是 的 公倍数;
2. 是 的公倍数;
3. 若 是公倍数, 则对任意 , 也是公倍数;
4. 是公倍数当且仅当 .

证明 4 (公倍数的基本性质)

1. 每个 都整除 .
2. 对每个 , 乘积 都含有因子 .
3. 若 , 则由 与 整除的基本性质 的 (3), 有 .
4. 条件 等价于 ; 对每个 同时成立即等价于 属于这些倍数集的交集.
   

5. 相关概念

• 倍数
• 最小公倍数
• 公因数

6. 术语翻译

中文	英文
公倍数	common multiple

初等数论