最小公倍数

1. 概述

于 初等数论 中, 最小公倍数 是能够整除所有公倍数的非负公倍数. 对正整数按整除关系构成的 偏序集 而言, 两个元素的最小公倍数是它们的 接.

2. 定义

定义 1 (最小公倍数)

设 , . 称 为 的 最小公倍数, 当：

1. 是 的 公倍数;
2. 对任意公倍数 , 都有 .

记号 2 (最小公倍数)

的 最小公倍数 记为 .

3. 例子

例子 3 (初步例子)

• ;
• ;
• .

4. 相关性质

命题 4 (最小公倍数的基本性质)

对任意 ：

1. 最小公倍数 存在且唯一;
2. ;
3. ;
4. .

证明 5 (最小公倍数的基本性质)

1. 若 或 , 则 是唯一的 非负最小公倍数. 若 , 由 最大公因数与最小公倍数的乘积公式 可构造出最小公倍数; 唯一性则由任意两个最小公倍数彼此整除且均非负得到.
2. 与 具有相同的公倍数.
3. 一个整数是 的倍数当且仅当它是 的倍数, 对 同理.
4. 是 的公倍数, 且任意公倍数都必须是 的倍数, 从而只能等于 .
   

命题 6 (最大公因数与最小公倍数的乘积公式)

设 且不同时为 , 则：

证明 7 (最大公因数与最小公倍数的乘积公式)

若 或 , 等式两侧均为 . 以下设 . 令 , 并写 、. 若 是 的公因数, 则 是 的公因数, 因而 . 消去非零整数 得 , 所以 . 令 , 则 且 , 所以 是公倍数.

对任意公倍数 , 因 , 可写 . 此时 且 . 写 ; 由 、 及 Euclid 引理的一般形式, 有 . 因而 , 从而 . 因此 , 并且：

5. 相关概念

• 公倍数
• 最大公因数
• 接

6. 术语翻译

中文	英文
最小公倍数	least common multiple

初等数论