线性 Diophantine 方程

1. 概述

于 初等数论 中, 线性 Diophantine 方程 是 Diophantine 方程 中要求未知量取整数值的一次方程. 二元方程 的可解性完全由 是否整除 决定, 并可通过 扩展 Euclid 算法 构造一组解.

2. 定义

定义 1 (二元线性 Diophantine 方程)

设 且 不同时为 . 称未知量 的方程：

为 二元线性 Diophantine 方程.

3. 例子

例子 2 (可解与不可解的方程)

以下两个 二元线性 Diophantine 方程 分别给出可解与不可解的情形：

• 方程 有整数解, 例如 ;
• 方程 没有整数解, 因为 .

4. 相关性质

定理 3 (二元线性 Diophantine 方程的可解判据)

设 且 不同时为 , 并令 . 则 二元线性 Diophantine 方程 有整数解当且仅当 .

证明 4 (二元线性 Diophantine 方程的可解判据)

充分性 ( )

若存在 使 , 则 且 , 从而 .

必要性 ( )

若 , 写 . 由 裴蜀恒等式, 存在 使 . 两侧乘以 得 , 故方程有整数解.

定理 5 (二元线性 Diophantine 方程的全部解)

设 且 不同时为 , 令 且设 . 若 是 的一组整数解, 则全部整数解恰为：

证明 6 (二元线性 Diophantine 方程的全部解)

对任意 , 代入上式可得 .

若 , 则 , 方程强制 , 而 可任取整数, 恰与所给公式一致; 时同理.

以下设 . 若 也是一组解, 则：

写 、, 则 且 . 由 Euclid 引理的一般形式, , 故存在 使 ; 代回即得 .

5. 相关概念

• 扩展 Euclid 算法
• 最大公因数
• 线性同余方程
• Diophantine 方程

6. 术语翻译

中文	英文
线性 Diophantine 方程	linear Diophantine equation

初等数论