一致收敛

1. 概述

于 数学分析 中, 一致收敛 要求函数列在整个定义域上以同一个序号阈值接近极限函数. 它足以保证连续性与积分等结构在取极限时得以保持.

2. 定义

定义 1 (一致收敛)

设 , 为 映射. 称函数列 在 上 一致收敛 于 , 当：

记号 2 (一致收敛)

函数列 一致收敛 于 记为 .

3. 例子

例子 3 (逐点收敛但非一致收敛)

在 上令 . 则 逐点收敛于在 上为 、在 处为 的函数, 但不 一致收敛, 因为极限函数不连续.

4. 相关性质

定理 4 (一致极限保持连续性)

若每个 都是 连续函数, 且 一致收敛 于 , 则 连续.

证明 5 (一致极限保持连续性)

由 一致收敛, 给定 与 , 可选取 使 对所有 成立, 再由 在 处连续控制 . 三角不等式即给出 .

定理 6 (一致极限与积分交换)

若 均 Riemann 可积, 且 一致收敛 于 , 则 可积, 并且：

证明 7 (一致极限与积分交换)

由 一致收敛, 对充分大的 , , 故：

可积性可由 Riemann 和的一致逼近得到.

5. 相关概念

• 幂级数；
• 一致连续.

6. 术语翻译

中文	英文
一致收敛	uniform convergence

数学分析