Fubini 定理

1. 概述

于 数学分析 中, Fubini 定理 把紧矩形上的 多重 Riemann 积分 化为依次进行的一元 Riemann 积分. 它说明在连续性等安全条件下, 多维积分可以按任意坐标次序逐次计算.

2. 定义

定义 1 (Fubini 定理)

设 , 其中 且 , 并设 为 连续函数. 对 与 分别定义：

则 与 连续, 在 上的 多重 Riemann 积分 存在, 并且：

3. 例子

例子 2 (矩形上的乘积函数)

对连续函数 应用 Fubini 定理, 有：

4. 相关性质

推论 3 (有限维逐次积分)

设 , , 其中 , 且 为 连续函数. Fubini 定理 的有限维推广断言：对任意 的排列 , 按 逐次进行的一元积分都存在, 并等于 的 多重 Riemann 积分.

证明 4 (有限维逐次积分)

对维数 作归纳. 当 时, 结论就是 Fubini 定理. 假设结论对 维紧矩形成立, 并写 , 其中 . 由 紧矩形上的连续函数可积, 在 上的多重 Riemann 积分存在. 对每个 , 归纳假设保证函数 的各个逐次积分均存在且等于其在 上的 多重 Riemann 积分. 定义：

由于 在紧矩形 上一致连续, 对 有：

故 连续, 从而 存在. 对 与 分别取带标签分割, 相应的 维 Riemann 和可先在 上求和, 再对最后一个变量求和. 一致连续性保证内层和关于最后一个变量一致收敛于 , 因而外层和收敛于 . 同一族乘积型 Riemann 和也收敛于 的 多重 Riemann 积分, 故二者相等. 最后, 对任意坐标排列重新标记坐标并重复上述归纳, 即得所有积分次序下的结论.

5. 相关概念

• 多重 Riemann 积分;
• Riemann 积分;
• 连续函数;
• 多元变量替换公式.

6. 术语翻译

中文	英文
Fubini 定理	Fubini theorem
逐次积分	iterated integral
积分次序	order of integration

数学分析