二项式系数

1. 概述

于 环论 中, 二项式系数 是 自然数 的阶乘所给出的数, 它作为 多项式环 中 二项式定理 的展开系数出现.

2. 定义

定义 1 (二项式系数)

设 为 自然数, 且 . 称数：

为 取 的 二项式系数, 其中 , 对 有 .

记号 2 (二项式系数)

二项式系数 记为 .

注记 3 (边界约定)

对 , 当 时约定 . 定义还给出 .

3. 例子

例子 4 (小指标的二项式系数)

取 自然数 , 由 二项式系数 的定义可得：

4. 相关性质

命题 5 (二项式系数的对称性)

对任意 自然数 与 , 二项式系数 满足 .

证明 6 (二项式系数的对称性)

由 二项式系数 的定义, 等式两边的分母均为 .

命题 7 (Pascal 恒等式)

对任意 自然数 与 , 二项式系数 满足 .

证明 8 (Pascal 恒等式)

由 二项式系数 的定义, 左边通分后为：

命题 9 (二项式系数的整数性)

对任意 自然数 与 , 二项式系数 为自然数.

证明 10 (二项式系数的整数性)

对 使用 数学归纳法. 时 . 若第 行各项均为 自然数, 则第 行两端均为 , 其余各项由 Pascal 恒等式 表示为第 行相邻两项之和, 因而仍为自然数.

命题 11 (二项式系数求和)

对任意 自然数 , 二项式系数 满足：

证明 12 (二项式系数求和)

对 使用 数学归纳法. 时等式两边均为 . 设结论对 成立, 由 Pascal 恒等式 与边界值可得：

5. 相关概念

• 自然数
• 多项式环
• 二项式定理

6. 术语翻译

中文	英文
二项式系数	binomial coefficient