平凡拓扑

1. 概述

于 一般拓扑学 中, 平凡拓扑 是给定 集合 上只含空集与全集的最粗拓扑. 它无法用开集区分任何两个点.

2. 定义

定义 1 (平凡拓扑)

设 为 集合. 称：

为 上的 平凡拓扑, 也称不可分拓扑.

3. 例子

例子 2 (三点平凡空间)

对 , 族 是 上的 平凡拓扑, 其非空真子集都不是 开集.

4. 相关性质

命题 3 (平凡拓扑的基本性质)

设 具有 平凡拓扑. 则：

1. 从任意 拓扑空间 到 的每个 映射 都连续;
2. 是 紧致空间;
3. 若 非空, 则 是 连通空间.

证明 4 (平凡拓扑的基本性质)

1. 余域中仅有 与 两个开集, 其原像分别为定义域的空集与全集.
2. 每个覆盖 的开覆盖必含 本身.
3. 不存在非空真开闭子集.
   

5. 相关概念

• 离散拓扑
• 更细与更粗的拓扑
• 紧致空间
• 连通空间

6. 术语翻译

中文	英文
平凡拓扑	indiscrete topology / trivial topology

一般拓扑