点处连续

1. 概述

于 一般拓扑学 中, 点处连续 是用邻域描述映射在一个固定点附近保持局部结构的性质. 全局连续性等价于在每一点处连续.

2. 定义

定义 1 (点处连续)

设 为 拓扑空间, 为 映射, . 若对 的每个 邻域 , 都存在 的邻域 使 , 则称 在 处 连续.

3. 例子

例子 2 (恒等映射)

任意 拓扑空间 上的恒等映射在每个 处 连续, 因为可对邻域 直接取 .

4. 相关性质

命题 3 (局部连续与全局连续)

设 为 映射. 则 是 连续映射 当且仅当 在每个 处 连续.

证明 4 (局部连续与全局连续)

充分性 ( )

若 连续, 对 的邻域 取开集 使 . 则 是 的邻域且映入 .

必要性 ( )

设 开. 对每个 , 点处连续给出 的邻域 使 . 取包含 的开集 , 则 开.

5. 相关概念

• 连续映射
• 邻域
• 局部基
• 拓扑序列收敛

6. 术语翻译

中文	英文
点处连续	continuous at a point

一般拓扑