余数

1. 概述

于整数的 整数上的带余除法 中, 余数 是从 被除数 中减去 除数 的整数倍后留下的规范代表. 余数是否为零恰好判断除数能否整除被除数.

2. 定义

定义 1 (余数)

设 且 . 由 整数上的带余除法, 存在唯一的 使：

称 为 除以 所得的 余数.

3. 例子

例子 2 (初步例子)

• , 故 除以 的 余数 为 ;
• , 故 除以 的余数为 ;
• , 故 除以 的余数为 .

4. 相关性质

命题 3 (余数的基本性质)

设 且 , 为 除以 的 余数, 则：

1. ;
2. 当且仅当 ;
3. 是区间 中唯一与 模 同余 的整数.

证明 4 (余数的基本性质)

1. 由 得 .
2. 若 , 则 , 故 . 反之, 若 , 则 对某个 成立; 已满足 余数 范围, 由 整数上的带余除法 的唯一性得 .
3. 由第 (1) 条, 与 模 同余; 唯一性由 整数上的带余除法 中余数的唯一性得到.
   

5. 相关概念

• 商
• 同余
• 整除
• 整数上的带余除法

6. 术语翻译

中文	英文
余数	remainder

初等数论