Dirichlet 卷积

1. 概述

于 初等数论 中, Dirichlet 卷积 按照正整数的因数分解组合两个 算术函数. 它把 Möbius 反演 写成卷积逆元关系, 并保持 乘性函数 的乘性.

2. 定义

定义 1 (Dirichlet 卷积)

设 为 算术函数. 定义算术函数 为：

称 为 与 的 Dirichlet 卷积.

3. 例子

例子 2 (常值函数的自卷积)

设 . 则 Dirichlet 卷积 满足：

其中 是 因数个数函数.

4. 相关性质

命题 3 (Dirichlet 卷积的基本性质)

设 为 算术函数. 则 Dirichlet 卷积 满足：

1. ;
2. ;
3. 设算术函数 满足 , 且当 时 , 则 ;
4. 若 均为 乘性函数, 则 也是乘性函数.

证明 4 (Dirichlet 卷积的基本性质)

1. 由 Dirichlet 卷积 的定义, 以 重新编号求和, 得 .
2. 对每个 , 有：
3. 和式 中只有 的一项非零, 故 .
4. 设 . 每个 可唯一写成 , 其中 、. 利用 的乘性可得： 此外 , 故 是 乘性函数.
   

5. 相关概念

• 算术函数
• 乘性函数
• Möbius 函数
• Möbius 反演

6. 术语翻译

中文	英文
Dirichlet 卷积	Dirichlet convolution

初等数论