Möbius 函数

1. 概述

于 初等数论 中, Möbius 函数 记录整数的素因子是否重复, 并赋予无平方因子整数一个由素因子个数决定的符号. 它是 常值算术函数 在 Dirichlet 卷积 下的逆元.

2. 定义

定义 1 (Möbius 函数)

对任意 , 定义：

称 算术函数 为 Möbius 函数.

3. 例子

例子 2 (Möbius 函数的初步取值)

由 Möbius 函数 的定义可得：

4. 相关性质

命题 3 (Möbius 函数的乘性)

Möbius 函数 是 乘性函数.

证明 4 (Möbius 函数的乘性)

由 Möbius 函数 的定义有 . 设 . 若某个 素数 的平方整除 或 , 则它也整除 , 因而 . 否则 均无平方素因子, 且二者的素因子互不相同; 若它们分别有 个不同素因子, 则：

命题 5 (Möbius 函数的因数和)

对任意 , Möbius 函数 满足：

证明 6 (Möbius 函数的因数和)

当 时结论由 Möbius 函数 的定义直接成立. 以下设 , 并设 有 个不同的 素因子. 只有这些素因子的无重复乘积对应的因数对和式有非零贡献, 故：

推论 7 (Möbius 函数是常值函数的卷积逆元)

设 . 则 Möbius 函数 在 Dirichlet 卷积 下满足：

其中 , 且当 时 .

证明 8 (Möbius 函数是常值函数的卷积逆元)

对每个 , 有 . 结论由 Möbius 函数的因数和 得到.

5. 相关概念

• Möbius 反演
• Dirichlet 卷积
• 乘性函数

6. 术语翻译

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Möbius 函数	Möbius function

初等数论