Möbius 反演

1. 概述

于 初等数论 中, Möbius 反演 从一个函数的因数和恢复原函数. 它等价于在 Dirichlet 卷积 下使用 Möbius 函数 消去常值函数.

2. 定义

定义 1 (Möbius 反演)

设 为 算术函数. 称下列等价关系为 Möbius 反演公式：

3. 例子

例子 2 (由因数个数恢复常值函数)

因为 , 由 Möbius 反演 可得：

4. 相关性质

定理 3 (Möbius 反演定理)

对任意 算术函数 , Möbius 反演公式 成立.

证明 4 (Möbius 反演定理)

充分性 ( )

若 Möbius 反演公式 左侧成立, 即 , 则由 Möbius 函数的因数和：

必要性 ( )

若 , 则以 Dirichlet 卷积 记号写作 . 由 Möbius 函数的因数和 与 Dirichlet 卷积的基本性质：

因而 .

5. 相关概念

• Möbius 函数
• Dirichlet 卷积
• 因数幂和函数

6. 术语翻译

中文	英文
Möbius 反演	Möbius inversion

初等数论