水平集

1. 概述

于 数学分析 中, 水平集 是函数取定值的点集. 正则水平集在局部上由 隐函数定理 描述, 是曲线、曲面和流形的基本来源.

2. 定义

定义 1 (水平集)

设 , 为 向量值函数, . 集合：

称为 关于 的 水平集.

记号 2 (水平集)

当 时, 也记为 , 称为零水平集.

3. 例子

例子 3 (球面)

的水平集 是单位球面.

4. 相关性质

定理 4 (正则水平集的局部结构)

设 为开集, 为 映射, , , 且 . 则水平集 在 附近经 坐标变换对应于 的开集.

证明 5 (正则水平集的局部结构)

由 隐函数定理, 可在 附近选取坐标, 使 等价于最后 个坐标为零. 剩余 个坐标自由变化, 因而得到所述局部片.

5. 相关概念

• 隐函数定理;
• 梯度;
• 多元函数的极值;
• Euclid 空间.

6. 术语翻译

中文	英文
水平集	level set
零水平集	zero level set
正则水平集	regular level set

数学分析