向量值函数

1. 概述

于 数学分析 中, 向量值函数 是取值于 Euclid 空间 的 映射, 其分量同时描述多个数量的变化. 多元微分把它看作有限维线性空间之间的映射.

2. 定义

定义 1 (向量值函数)

设 , 为 集合, 为 映射. 称 为 上的 向量值函数.

记号 2 (向量值函数)

向量值函数 写作：

的第 个分量记为 , 向量值函数的值域记为 .

3. 例子

例子 3 (参数曲线)

设 为区间, 为 向量值函数. 它可写成 , 并描述一条参数曲线.

例子 4 (线性映射)

矩阵 定义向量值函数 , .

4. 相关性质

命题 5 (分量刻画连续性)

设 , 为 向量值函数, . 则 在 处 连续 当且仅当每个分量 在 处连续.

证明 6 (分量刻画连续性)

充分性 ( )

若 连续, 则 , 故每个分量连续.

必要性 ( )

若每个 连续, 则给定 , 对每个 取 使 当 , 再令 . 当 时：

故 连续.

5. 相关概念

• Euclid 空间;
• 连续函数;
• 多元函数的极限;
• 全微分.

6. 术语翻译

中文	英文
向量值函数	vector-valued function
分量	component

数学分析