秩定理

1. 概述

于 数学分析 中, 秩定理 将常秩映射在局部坐标中化为标准投影. 它统一描述局部浸入、浸没与正则水平集的形状.

2. 定义

定义 1 (秩定理)

设 为开集, 为 映射, , 且在 的某邻域内 Jacobian 矩阵 的秩恒为 . 则存在 与 的局部 坐标变换 , 使：

记号 2 (秩定理)

称为 在该邻域内的常秩, 标准形式中的前 个坐标给出局部有效变量.

3. 例子

例子 3 (投影)

投影 , 的秩恒为 , 已处于 秩定理 的标准形式.

4. 相关性质

命题 4 (常秩映射的纤维维数)

在 秩定理 的条件下, 存在秩定理给出的源邻域 , 使对每个 , 局部纤维 局部微分同胚于维数 的 Euclid 空间 开集.

证明 5 (常秩映射的纤维维数)

在标准坐标中, 由前 个坐标固定、其余 个坐标自由给出, 因而是 的开集经坐标变换所得.

5. 相关概念

• 逆函数定理;
• 隐函数定理;
• 全微分;
• Jacobian 矩阵.

6. 术语翻译

中文	英文
秩定理	rank theorem
常秩	constant rank
纤维	fiber

数学分析