全微分

1. 概述

于 数学分析 中, 全微分 用一个线性映射在一阶近似意义下替代多元函数. 它是有限维 Fréchet 导数, 也是光滑流形中微分的局部模型.

2. 定义

定义 1 (全微分)

设 , 为 向量值函数, 为 的内点. 若存在 线性映射 , 使：

则称 在 处 可微, 称 为 在 处的全微分或 Fréchet 导数.

记号 2 (全微分)

全微分 记为 或 .

3. 例子

例子 3 (线性映射)

若 为 线性映射, 则 在每一点可微, 且 .

4. 相关性质

命题 4 (全微分的基本性质)

设 , , 且 都在 处可微, . 则：

1. ;
2. ;
3. 可微蕴含 多元连续性.

证明 5 (全微分的基本性质)

1. 将两个余项相加仍为 , 得到和的全微分.
2. 将余项乘以 仍为 , 得到标量倍的全微分.
3. 由 , 线性映射满足 , 故 .
   

定理 6 (全微分的唯一性)

若两个线性映射 都满足 全微分 的定义, 则 .

证明 7 (全微分的唯一性)

对任意 取 , 得 . 除以 并令 , 得 , 因而 .

5. 相关概念

• 偏导数;
• 方向导数;
• Jacobian 矩阵;
• 逆函数定理.

6. 术语翻译

中文	英文
全微分	total differential
Fréchet 导数	Fréchet derivative
可微	differentiable

数学分析