1. 概述
于 数学分析 中, 逆函数定理 说明 Jacobian 在一点可逆时, 多元函数在该点附近具有局部可微逆映射. 它是坐标变换和光滑流形局部坐标的分析基础.
2. 定义
定义 1 (逆函数定理)
记号 2 (逆函数定理)
局部逆映射记为
, 并满足：
3. 例子
例子 3 (一维情形)
若
为 且 , 则 在 附近有可微逆函数. 例如 在每一点都有局部逆 .
4. 相关性质
命题 4 (局部逆的导数)
在 逆函数定理 的条件下, 对
：
证明 5 (局部逆的导数)
任取
, 令 . 在 处对 使用 多元链式法则, 得 . 因 可逆, 两边右乘其逆即得 .
5. 相关概念
- 全微分;
- Jacobian 矩阵;
- 多元链式法则;
- 隐函数定理.
6. 术语翻译
| 中文 | 英文 |
|---|---|
| 逆函数定理 | inverse function theorem |
| 局部逆映射 | local inverse map |