反常积分

1. 概述

于 数学分析 中, 反常积分 以极限扩展 Riemann 积分, 从而处理无界区间或被积函数在端点附近无界的情形.

2. 定义

定义 1 (反常积分)

设 在每个 上 Riemann 可积. 若极限：

存在且有限, 则称反常积分 收敛, 并以该极限为其值. 有限端点处无界的情形类似地用单侧极限定义.

3. 例子

例子 2 (-积分)

对 , 反常积分 当且仅当 时收敛.

4. 相关性质

命题 3 (比较判别法)

设 在充分大的 上成立. 则下列 反常积分 满足：

1. 若 收敛, 则 收敛；
2. 若 发散, 则 发散.

证明 4 (比较判别法)

对 反常积分：

1. 单调递增且有上界. 令 , 由 上确界 的定义可直接验证 .
2. 为 (1) 的逆否命题.

5. 相关概念

• Riemann 积分；
• 无穷级数.

6. 术语翻译

中文	英文
反常积分	improper integral

数学分析