无穷级数

1. 概述

于 数学分析 中, 无穷级数的收敛 是指其部分和序列具有有限极限. 它把有限加法扩展到可控的无限求和.

2. 定义

定义 1 (无穷级数的收敛)

设 为 级数, 部分和为 . 若 收敛于 , 则称该 无穷级数收敛; 否则称其发散.

记号 2 (无穷级数的和)

若 无穷级数 收敛于 , 则记为：

3. 例子

例子 3 (几何级数)

几何级数 当且仅当 时 收敛, 此时其和为 .

4. 相关性质

命题 4 (收敛的必要条件)

若 无穷级数 收敛, 则 .

证明 5 (收敛的必要条件)

若 无穷级数 的部分和 , 则 .

定理 6 (Cauchy 收敛准则)

无穷级数 收敛当且仅当：对任意 , 存在 , 使任意 都满足：

证明 7 (Cauchy 收敛准则)

对 无穷级数, 因 , 故结论就是部分和序列的 Cauchy 收敛准则.

5. 相关概念

• 绝对收敛；
• 正项级数；
• 幂级数.

6. 术语翻译

中文	英文
无穷级数	infinite series

数学分析