1. 概述 于 线性代数 中, 交替形式 是在两个输入相同时为零的标量值 多重线性映射, 是 外代数 的对偶描述. 2. 定义 定义 1 (交替形式) 设 为 域 上的 线性空间, . 多重线性映射 称为 次 交替形式, 当任何两个输入相等时它的值都为零. 零次交替形式约定为 中的标量. 3. 例子 例子 2 (基本例子) 在 上, 把 个向量作为列后取 行列式, 得到一个 次 交替形式. 4. 相关性质 命题 3 (交换输入改变符号) 对 线性空间 上的 交替形式, 交换两个输入位置使其值乘以 . 证明 4 (交换输入改变符号) 在这两个位置同时放入 , 由 交替形式 得零. 利用多重线性展开, 同为 与同为 的项均为零, 剩下两个交换输入的项之和为零. 注记 5 (特征为二的区别) 当系数 域 的 特征 为 时, 反对称等式本身不能保证 交替形式 的重复输入消失条件. 定义应直接使用后者. 命题 6 (次数的上界) 若 为 维 有限维线性空间, 则 时其所有 次 交替形式 均为零. 5. 相关概念 外代数 行列式 多重线性映射 6. 术语翻译 中文英文交替形式alternating form