有限维线性空间

1. 概述

于 线性代数 中, 有限维线性空间 是可由有限个 向量 生成的 线性空间, 因而可以用有限个 坐标 描述.

2. 定义

定义 1 (有限维线性空间)

设 为 域 上的 线性空间. 若存在有限 集合 使 , 则称 为 有限维线性空间.

3. 例子

例子 2 (基本例子)

设 为 域, . 是 有限维线性空间, 其标准 基 含 个向量. 次数不超过 的 多项式 连同零多项式构成维数为 的空间.

4. 相关性质

命题 3 (有限生成族可删减为基)

每个 有限维线性空间 的有限生成族都包含一组 基.

证明 4 (有限生成族可删减为基)

若生成族不 线性无关, 可从非平凡零关系中解出一个向量, 删除它不改变 线性生成空间. 有限次删除后得到线性无关的生成族, 即 基.

命题 5 (维数控制)

设 为 维 有限维线性空间. 则：

1. 每个 线性无关 族至多含 个向量;
2. 每个生成族至少含 个向量;
3. 每个线性无关族都可扩充为 基.

5. 相关概念

• 基
• 坐标
• 无限维线性空间

6. 术语翻译

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有限维线性空间	finite dimensional vector space