1. 概述 于 线性代数 中, 正交投影 是使投影误差与目标子空间 正交 的 投影. 2. 定义 定义 1 (正交投影) 设 为 内积空间, 为 线性子空间. 线性映射 称为到 的 正交投影, 当对每个 , 与 中的所有向量 正交. 3. 例子 例子 2 (基本例子) 在 Euclid 空间 中, 到直线 的 正交投影 为 . 4. 相关性质 命题 3 (有限维子空间的正交投影) 设 为 内积空间 的有限维 线性子空间, 为 的正交归一 基. 则到 的 正交投影 存在且唯一, 其公式为 . 证明 4 (有限维子空间的正交投影) 存在性 公式定义 线性映射, 且 对每个 成立. 按基展开可知误差与整个 正交. 唯一性 若 都有正交误差, 则 且与 正交. 因而其内积平方为零, 得 . 命题 5 (最佳逼近) 对 内积空间 到有限维子空间 的 正交投影 , 是 中唯一使 最小的 . 这是由 的 正交 分解得到的. 5. 相关概念 投影 内积空间 正交性 6. 术语翻译 中文英文正交投影orthogonal projection