1. 概述 于 线性代数 中, 基 是既 线性无关 又生成整个 线性空间 的向量族, 使每个向量具有唯一的有限 坐标 表达. 2. 定义 定义 1 (基) 设 为 域 上的 线性空间, 为 集合. 向量族 称为 的 基, 当它 线性无关 且其 线性生成空间 等于 . 3. 例子 例子 2 (基本例子) 设 为 域. 线性空间 的标准单位向量 构成 基. 多项式 空间 的基为 , 因为每个多项式仅有有限个非零系数. 4. 相关性质 命题 3 (基展开的存在唯一性) 设 是 线性空间 的 基. 每个 都存在唯一的有限支撑系数族 , 使 . 证明 4 (基展开的存在唯一性) 存在性 基 生成 , 因而每个 都是有限 线性组合, 其他系数补零. 唯一性 两个展开相减是有限的零 线性组合. 由 线性无关 得每个对应系数相等. 定理 5 (基的存在与等势) 在选择公理下, 每个 线性空间 都存在 基, 且任意两组基的 基数 相同, 因而 维数 定义良好. 5. 相关概念 坐标 维数 有限维线性空间 无限维线性空间 6. 术语翻译 中文英文基basis