1. 概述 于 线性代数 中, Gram 矩阵 记录有限向量族的两两内积, 用于检测 线性无关 与 正交性. 2. 定义 定义 1 (Gram 矩阵) 设 为 内积空间 中的向量, 内积对第一变量线性. 矩阵 称为该族的 Gram 矩阵. 3. 例子 例子 2 (基本例子) 在 Euclid 空间 中, 、 的 Gram 矩阵 为 . 4. 相关性质 命题 3 (Gram 矩阵的正性) 设 为 内积空间 中向量族 的 Gram 矩阵. 对每个系数列 有 , 其中 为共轭转置. 命题 4 (Gram 判别) 向量族 线性无关 当且仅当其 Gram 矩阵 正定. 证明 5 (Gram 判别) 充分性 ( ) 非零系数列给出的线性组合非零, 故 内积空间 的正定性使 . 必要性 ( ) 若存在非零系数列使组合为零, 则 , 与正定性矛盾. 5. 相关概念 内积空间 矩阵 线性无关 6. 术语翻译 中文英文Gram 矩阵gram matrix