1. 概述 于 线性代数 中, 线性无关 描述一个 向量 族没有非平凡的零 线性组合, 是构造 基 的条件. 2. 定义 定义 1 (线性无关) 设 为 域 上的 线性空间, 为 集合, 为 中的向量族. 称该族 线性无关, 当对每个有限子集 和系数 , 都蕴含所有 . 不满足此条件的族称为线性相关. 3. 例子 例子 2 (基本例子) 设 为 域. 在 中, 线性无关, 因为逐坐标比较得到两个系数均为零. 含零 向量 的族总是线性相关. 4. 相关性质 命题 3 (线性无关族的子族) 任意 线性无关 向量族的子族仍线性无关. 证明 4 (线性无关族的子族) 子族上的零 线性组合 可在原族其他位置补零系数, 再由 线性无关 得所有系数为零. 命题 5 (添入向量判别) 设 为 线性空间 中的 线性无关 族, . 添入 后的族线性无关当且仅当 不属于该族的 线性生成空间. 证明 6 (添入向量判别) 充分性 ( ) 若 属于 线性生成空间, 将它的有限展开移到等式一侧, 得到 的系数为 的非平凡零线性组合, 矛盾. 必要性 ( ) 在有限关系 中, 若 , 就可解出 为原族的线性组合. 因此 , 再由原族 线性无关 得其余系数为零. 5. 相关概念 线性组合 线性生成空间 基 6. 术语翻译 中文英文线性无关linear independence