素数

1. 概述

1.1. 基本概念

素数 (或称 质数) 是一些 大于 的 自然数, 它们不能被拆分为多个自然数的乘积 (除自己外). 开头的一些素数分别为：

此外, 与之相对的概念则称为 合成数.

1.2. 于 环论 与 交换代数 中

更广义地, 于 环论 或 交换代数 中, 素数在 整数环 中体现出的两类性质可推广到更一般的 整环 上：

• 不可约性 关注一个非零、非单位元素能否被非平凡地分解为两个非单位的乘积;
• 素性 关注一个元素整除乘积时, 是否必整除其中至少一个因子.

此时, 只要 本身是个 整环, 则有以下对应：

• 是 素元 当且仅当非零 主理想 是 素理想;
• 是 不可约元 当且仅当不存在严格夹在 与 之间的主理想, 即 是所有既是 主理想 又是 真理想 的理想按包含关系构成的 偏序集 中的 极大元.

特别地, 如果 是 主理想整环, 例如 本身, 则 不可约元 与 素元 等价. 因此, 中的素元与不可约元都恰为 , 其中 遍历所有正素数.

1.3. 于 代数几何 中

于 算术几何 中, 素数可以从多个相互联系的角度出现. 每个素数 给出 整数环 的 素理想 与 有限域 , 从而允许把整数上的方程约化到特征 ; 同一个素数还给出 -进数 域 , 用于研究 附近的局部算术信息. 比较不同素数处的约化、p-进局部信息与有理数上的整体信息, 是算术几何的重要方法.

1.4. 中心地位

此外, 对素数的研究一直占据着纯数学界的中心位置. 许多著名的结构、定理与重大猜想皆围绕素数而生, 例如：

• -进数：实数 域 是对 有理数 域 完备化 后的产物, 但我们仍存在另一种对 进行完备化的方式, 称之为 p-进完备化, 而完备化后的数域则称之为 p-进数域 , 其中 为素数. 特别地, 中的拓扑性质与 截然不同, 通过研究它, 我们可以得到许多以往在 上不曾见到的有趣结论;
• Goldbach 猜想：任意一个 大于 的 偶数 是否都能被分解为某两个素数之和？
• Riemann 猜想：素数出现的规律一直让数学家们感到困惑, 我们是否能通过研究某一条公式, 从而得到有关素数的分布规律？
• Weil 猜想：有限域上代数簇的 zeta 函数满足一组与经典 Riemann 猜想相似的性质. Weil 猜想现已得到证明; 它不是经典 Riemann 猜想的特殊情形, 但展示了数论与几何之间极为深刻的类比.

2. 定义

定义 1 (素数)

设 且 , 若它只能被 与 整除, 则称 为 素数.

注记 2 (以正因数的数量定义素数)

按照 素数 的定义, 只能被 与自身这两个 正因数 整除, 因此等价于以下定义.

定义 3 (以两个正因数定义素数)

设 且 , 若它仅有 与 这两个 正因数, 则称 为 素数.

注记 4 (以乘积分解定义素数)

按照 以两个正因数定义素数, 每当正整数 满足 时, 中至少一个必须等于 , 从而等价于以下定义.

定义 5 (以两个数的乘积定义素数)

设 且 . 若满足 , 则称 为 素数.

别名 6 (素数)

定义 1 (素数) 亦可被等价地称为 质数.

3. 例子

例子 7 (Grothendieck 素数)

著名数学家 Grothendieck 的研究领域多于 代数几何 上, 由他所创造的各种概念都极其抽象, 很少涉及到具体的构造. 然而在某一次数学研讨会上, 有人询问他能否举一个具体的例子, 然后他说：“好吧, 我们挑一个 素数 .” 但事实上这并不是个素数, 于是这个 数 则被戏称为 Grothendieck 素数.

例子 8 (已知最大素数)

截至 年 月, 当时所找到的最大 素数 为 , 这是由 互联网 Mersenne 素数大搜寻 (GIMPS) 的志愿者 Luke Durant 于 年发现的. 特别地, 形如 的 数 被称为 Mersenne 数, 其中 为正整数; 当它为素数时, 则称之为 Mersenne 素数. 许多被寻觅到的大素数皆为 Mersenne 素数.

例子 9 ( 的素因数分解)

可分解为：

由 算术基本定理, 任何把 写成 素数 乘积的方式都只会改变这些素因子的排列次序.

4. 相关性质

定理 10 (Euclid 引理的素数形式)

设 为 素数, . 若 , 则 或 .

证明 11 (Euclid 引理的素数形式)

若 , 结论已经成立. 若 , 则 是 的正因数但不可能等于 , 因而 . 对 应用 Euclid 引理的一般形式, 得 .

推论 12 (素数整除有限乘积)

设 , 为 素数, . 若 , 则存在 使 .

证明 13 (素数整除有限乘积)

对 使用 数学归纳法. 当 时结论显然. 若 , 由 Euclid 引理的素数形式, 或 ; 后一种情形由归纳假设得到结论.

定理 14 (算术基本定理)

设 且 . 则存在 与 素数 使：

若另有 与素数 使 , 则 , 且两组素因子仅相差一个 置换.

证明 15 (算术基本定理)

存在性

由 反证法, 假设存在不能分解为有限个 素数 之积的大于 的整数. 由 良序原理, 可取其中最小者 . 由于 不是素数, 它是 合成数, 故可写 , 其中 . 由 的最小性, 与 都能分解为有限个素数之积, 从而 也能分解为有限个素数之积, 矛盾.

唯一性

设：

因 , 由 素数整除有限乘积, 存在 使 . 由于 都是素数, 必有 . 调换 与 的位置后, 在等式两侧消去 , 再对剩余乘积重复此过程. 两侧必同时耗尽, 因而 , 且两组素因子仅相差一个置换.

推论 16 (素因数幂的标准形式)

每个 且 都可 唯一 地写成：

其中 , 为两两不同的 素数, .

证明 17 (素因数幂的标准形式)

将 算术基本定理 给出的相同素因子合并为幂, 再按递增次序排列即可; 各素因子及其出现次数的唯一性继承自素因数分解的唯一性.

推论 18 (正因数的标准形式)

设 且 . 由 算术基本定理, 将 的标准素因数分解写为：

其中 , 为两两不同的 素数, . 则 的 正因数 恰为：

证明 19 (正因数的标准形式)

若 , 写 . 对 应用 算术基本定理, 可知 中每个 素数 的指数不超过 中相应指数 . 反之, 任取满足 的指数, 都有：

故 .

5. 相关概念

• 合成数
• 最大公因数
• 素元, 不可约元
• 素理想, 极大理想

6. 术语翻译

中文	英文
素数 / 质数	prime number
算术基本定理	fundamental theorem of arithmetic

初等数论