层化

1. 概述

于 层论 中, 层化 将 预层 转换为具有局部性和粘合性的 层, 同时保持各点处的 茎. 它使只在局部出现的相容资料能够组成真正的截面.

2. 定义

定义 1 (层化)

设 为 拓扑空间 上的 预层. 若一个 层 配有 预层态射 , 且任意到层 的预层态射 都存在唯一层态射 , 使得下图 交换：
\xymatrix{
\mathcal F \ar[r]^{\eta} \ar[dr]_{\phi} & \mathcal F^+ \ar@{—>}[d]^{\widetilde\phi} \
& \mathcal G
}

则称 为 的 层化.

记号 2 (层化)

层化 常写作 或 , 称为典范态射.

3. 例子

例子 3 (已是层的预层)

若 预层 已满足 层 条件, 则其 层化 与 自然同构, 典范态射在此同构下为恒等态射.

4. 相关性质

命题 4 (层化保持茎)

设 为 层化 的典范态射. 对每个 , 有：

1. 所诱导的 茎 映射 为双射;
2. 若 为环值 预层, 则 为环同构.

证明 5 (层化保持茎)

1. 可将 构造为芽族 , 满足 , 且每个 有开邻域 与 使 对所有 成立. 典范态射将 送到芽族 , 故 是此芽族在 处的芽. 对任意 , 取上述包含 的 与 , 则 , 所以 满射. 若 , 则相应芽族在某个含 的开邻域上一致, 特别在 处取同一值; 此值分别为 , 故 , 所以 单射.
2. 当 为环值 预层 时, 每个 茎 为环, 芽族的加法与乘法逐点定义. 因此 保持环运算与幺元, 再由第 1 条的双射性得到环同构.
   

5. 相关概念

• 预层
• 层
• 茎
• 层同态

6. 术语翻译

中文	英文
层化	sheafification