1. 概述
于 数学分析 中, Lagrange 乘子法 把带等式约束的极值问题转化为梯度之间的线性关系. 它是 多元函数的极值 与约束曲面分析的基本工具.
2. 定义
定义 1 (Lagrange 乘子法)
设
为开集, 与 为 映射, 满足 . 若 满秩且 在约束集 上于 取得局部极值, 则存在 使：
记号 2 (Lagrange 乘子法)
称为第 个 Lagrange 乘子, 方程组 与 称为 Lagrange 方程组.
3. 例子
例子 3 (圆上的线性函数)
在约束
下求 的极值. 方程 与约束联立, 得到 中符号相同的两点, 分别给出最大值 与最小值 .
4. 相关性质
命题 4 (正则约束下的切向量条件)
在 Lagrange 乘子法 的条件下, 任意约束集
在 处的切向量 满足 , 且有：
证明 5 (正则约束下的切向量条件)
沿约束集内的可微曲线
取 , . 由 与 多元链式法则 得 . 局部极值使 在 处导数为零, 故 .
5. 相关概念
6. 术语翻译
| 中文 | 英文 |
|---|---|
| Lagrange 乘子法 | method of Lagrange multipliers |
| 约束集 | constraint set |
| 正则约束 | regular constraint |
| 乘子 | multiplier |