绝对收敛

1. 概述

于 数学分析 中, 绝对收敛 要求把级数各项替换为绝对值后仍然收敛. 它比一般收敛更强, 并保证重排不改变级数的和.

2. 定义

定义 1 (绝对收敛)

设 为实或复 级数. 若 正项级数 收敛, 则称 绝对收敛.

3. 例子

例子 2 (交错调和级数)

级数 收敛, 但不是 绝对收敛, 因为调和级数 发散.

4. 相关性质

定理 3 (绝对收敛蕴含收敛)

每个 绝对收敛 的级数都收敛.

证明 4 (绝对收敛蕴含收敛)

由 绝对收敛, 对任意 , 有：

右端由 的 Cauchy 收敛准则 趋于 , 故 收敛.

定理 5 (绝对收敛级数的重排)

绝对收敛 级数的任意重排仍绝对收敛, 且其和不变.

证明 6 (绝对收敛级数的重排)

由 绝对收敛, 给定 , 可选取有限前缀使剩余绝对值之和小于 . 任意重排的充分长前缀都包含该有限前缀, 故两种部分和之差由尾项绝对值之和控制.

5. 相关概念

• 无穷级数；
• 正项级数.

6. 术语翻译

中文	英文
绝对收敛	absolute convergence

数学分析