可测集

1. 概述

可测集 在直观上就是在某种 空间 (例如 Euclid 空间 ) 中, 可以测量大小的 集合, 这里大小指的是长度, 面积, 体积等概念. 即便集合的大小为 或 , 也算作可测集.

2. 定义

定义 1 (可测集)

设有 测度空间 , 其中 为 上的 -代数, 称 中的 元素 为 可测集.

3. 例子

例子 2 (计数测度空间中的可测集)

取 , , 并令计数测度 . 则每个 都是 可测集. 这给出了离散空间上所有子集都可测的例子.

4. 相关性质

命题 3 (可测集的封闭性)

固定 测度空间 , 其中 为 -代数, 且 对所有 成立. 则：

1. 是可测集;
2. 并集 是可测集;
3. 交集 是可测集.

证明 4 (可测集的封闭性)

1. 由 对补集封闭, 得 .
2. 由 对可数并封闭, 得 .
3. 由 De Morgan 律, , 再用前两项即得.
   

5. 相关概念

• 测度空间;
• -代数;
• 可测空间;
• 测度;
• 集合.

6. 术语翻译

中文	英文
可测集	measurable set

测度论