幺半群同态

1. 概述

于 群论 中, 幺半群同态 是同时保持乘法与幺元的 幺半群 间的 同态. 仅保持乘法并不能保证源幺半群的幺元映到目标幺半群的幺元, 因而保幺条件必须作为定义的一部分.

2. 定义

定义 1 (幺半群同态)

设 与 为 幺半群, 为定义在它们 基础集 上的 映射. 称 为 幺半群同态, 当同时满足：

• 对任意 , 有 ;
• .

别名 2 (幺半群同态)

幺半群同态 也称为 保幺同态.

保有幺元的问题

若只要求 , 则一般无法确保 . 对 群同态 而言, 保幺元可利用逆元从保持群运算推出; 缺少逆元的幺半群不能沿用这一论证, 因而定义中须明确要求保幺元.

注记 3 (范畴论视角)

在 范畴论 中, 消圈 将幺半群视为单对象范畴; 此时 幺半群同态 诱导这类范畴之间保持复合与单位态射的 函子.

3. 例子

详情请参阅 群论中同态的例子.

例子 4 (恒等映射)

对任意 幺半群 , 恒等映射 同时保持乘法与幺元, 因而是 幺半群同态.

4. 相关性质

推论 5 (群同态给出幺半群同态)

每个 群同态 在遗忘逆元资料后都是 幺半群同态.

证明 6 (群同态给出幺半群同态)

继承自 群同态 与 群同态保有幺元及逆元.

命题 7 (幺半群同态的复合仍是幺半群同态)

设 为 幺半群, 与 为 幺半群同态, 则 复合 仍是幺半群同态.

证明 8 (幺半群同态的复合仍是幺半群同态)

对任意 , 有 . 此外, , 因而复合同时保持乘法与幺元.

5. 相关概念

• 同态
• 原群同态
• 半群同态
• 群同态
• 环同态 还必须保持加法与乘法; 对含幺环, 还须保持乘法幺元.

6. 术语翻译

中文	英文
幺半群同态	monoid homomorphism
保幺同态	unital homomorphism

群论 抽象代数