函子

1. 概述

于 范畴论 中, 函子 是保持 恒同态射 与 态射复合 的范畴间映射. 它同时作用在对象和态射上, 是比较不同数学结构的基本工具.

2. 定义

定义 1 (函子)

设 为 范畴. 称资料 为从 到 的 函子, 当它给出：

• 对每个 , 一个对象 ；
• 对每个态射 , 一个态射 ；
• ；
• .

最后一项可表示为下列 交换图表：
\xymatrix{
F(X) \ar[r]^{F(f)} \ar[rd]_{F(g\circ f)} & F(Y) \ar[d]^{F(g)} \
& F(Z)
}

3. 例子

例子 2 (遗忘函子)

将每个 群 送到其底层 集合、将每个 群同态 送到其底层 映射, 得到从 群范畴 到 集合范畴 的 函子 .

例子 3 (恒等函子)

对每个 范畴 , 保持所有对象与态射不变的 函子 称为恒等函子, 记为 .

4. 相关性质

命题 4 (函子保持同构)

若 是 同构, 则对任意 函子 , 也是同构.

证明 5 (函子保持同构)

若 是 的 逆态射, 则由 函子 律：

故 是 的逆态射.

5. 相关概念

• 反变函子；
• 自然变换；
• 可表函子；
• 伴随函子.

6. 术语翻译

中文	英文
函子	functor

范畴论