网的收敛

1. 概述

于 一般拓扑学 中, 网的收敛 是网最终位于目标点每个邻域中的性质. 它把序列收敛推广到任意有向指标.

2. 定义

定义 1 (网的收敛)

设 为 拓扑空间 中的 网, . 若对 的每个 邻域 , 网 都最终位于 中, 则称 收敛 到 .

记号 2 (网的收敛)

网 收敛 到 记为 .

3. 例子

例子 3 (序列收敛是网收敛)

以 为指标时, 网的收敛 正好等于 拓扑序列收敛.

4. 相关性质

命题 4 (连续映射的网判据)

设 为 映射. 则 是 连续映射 当且仅当它保持 网的收敛, 即对每个 都有 .

证明 5 (连续映射的网判据)

充分性 ( )

若 连续, 对 的每个邻域 , 由 点处连续 取 的邻域 使 . 网最终位于 , 故像网最终位于 .

必要性 ( )

若 不连续, 则存在 使 . 取 且 . 由 网刻画闭包, 存在 中网收敛到 , 但其像不可能收敛到 .

5. 相关概念

• 网
• 滤子的收敛
• 拓扑序列收敛
• 连续映射

6. 术语翻译

中文	英文
网的收敛	convergence of a net

一般拓扑