滤子的收敛

1. 概述

于 一般拓扑学 中, 滤子的收敛 表示一个滤子包含目标点的全部邻域. 它与网的收敛提供两种等价的一般收敛语言.

2. 定义

定义 1 (滤子的收敛)

设 为 拓扑空间 上的 滤子, . 若：

则称 收敛 到 .

记号 2 (滤子的收敛)

滤子 收敛 到 记为 .

3. 例子

例子 3 (邻域滤子收敛)

对每个 , 邻域滤子 按 滤子的收敛 收敛到 .

4. 相关性质

命题 4 (网与尾滤子的收敛一致)

设 为 中的 网, 为由所有尾集 生成的 滤子. 则 滤子的收敛 满足：

证明 5 (网与尾滤子的收敛一致)

一个 邻域 属于尾滤子当且仅当某个尾集包含于 , 这恰好表示网最终位于 . 对所有 的邻域应用该等价即得结论.

命题 6 (Hausdorff 空间中滤子极限唯一)

在 Hausdorff 空间 中, 一个 滤子 按 滤子的收敛 至多收敛到一个点.

证明 7 (Hausdorff 空间中滤子极限唯一)

若 同时收敛到不同点 , 取不交邻域 与 . 则 , 从而 , 与滤子定义矛盾.

5. 相关概念

• 滤子
• 网的收敛
• 邻域
• Hausdorff 空间

6. 术语翻译

中文	英文
滤子的收敛	convergence of a filter
尾滤子	tail filter

一般拓扑