闭映射

1. 概述

于 一般拓扑学 中, 闭映射 是把 闭集 映为闭集的 映射. 它是开映射的闭集对应形式, 但二者通常不等价.

2. 定义

定义 1 (闭映射)

设 为 拓扑空间, 为 映射. 若对每个 中的 闭集 , 都是 中的闭集, 则称 为 闭映射.

3. 例子

例子 2 (紧致空间到 Hausdorff 空间的映射)

若 是 紧致空间, 是 Hausdorff 空间, 则每个 连续映射 都是 闭映射.

4. 相关性质

命题 3 (闭映射的复合)

若 与 都是 闭映射, 则 也是闭映射.

证明 4 (闭映射的复合)

对任意 闭集 , 在 中闭, 进而 在 中闭.

命题 5 (连续闭双射是同胚)

若 是连续的双射且为 闭映射, 则 是 同胚.

证明 6 (连续闭双射是同胚)

由 同胚的开闭映射判据 的第 3 条得证.

5. 相关概念

• 开映射
• 同胚
• 连续映射
• 紧致空间

6. 术语翻译

中文	英文
闭映射	closed map

一般拓扑