闭集

1. 概述

于 一般拓扑学 中, 闭集 是补集为 开集 的子集. 闭集适合描述极限点、闭包以及连续映射对闭集原像的保持性.

2. 定义

定义 1 (闭集)

设 为 拓扑空间, . 若 为 开集, 则称 为 中的 闭集.

3. 例子

例子 2 (实数中的闭集)

在具有 通常拓扑 的 实数 空间 中, 闭区间 与单点集 都是 闭集, 而开区间 通常不是闭集.

4. 相关性质

命题 3 (闭集的基本封闭性)

设 为 拓扑空间. 则：

1. 与 为 闭集;
2. 任意一族闭集的交为闭集;
3. 有限多个闭集的并为闭集.

证明 4 (闭集的基本封闭性)

由 以闭集刻画拓扑空间 的第 1、2、3 条分别得到结论.

5. 相关概念

• 开集
• 闭包
• 边界
• 聚点

6. 术语翻译

中文	英文
闭集	closed set

一般拓扑