对称性

1. 概述

于 集合论 中, 对称性 描述一个 关系 是否可以交换两个相关 元素 的位置而保持成立. 它与 自反性、传递性 共同构成 等价关系 的三个条件.

2. 定义

定义 1 (对称性)

设 为 集合, 为 上的 二元关系. 称 满足 对称性, 当：

3. 例子

例子 2 (初步例子)

• 任意 集合 上的 关系 满足 对称性, 因为 蕴含 ;
• 任意 等价关系 都满足对称性;
• 自然数 上的 小于或等于 关系 不满足对称性, 因为 但 .

4. 相关性质

命题 3 (以逆关系刻画对称性)

设 为 集合 上的 关系, 定义 . 则 满足 对称性 当且仅当 .

证明 4 (以逆关系刻画对称性)

等式 表示 当且仅当 , 这正是 对称性.

命题 5 (并集与交集保持对称性)

设 为 集合 上一族满足 对称性 的 关系, 则 与 仍满足对称性.

5. 相关概念

• 自反性
• 反称性
• 传递性
• 等价关系

6. 术语翻译

中文	英文
对称性	symmetry

一般数学 代数性质