等价类

1. 概述

于 集合论 中, 等价类 是 商集 中的 元素.

2. 定义

定义 1 (等价类)

设 为 集合, 则 等价关系 的 等价类 被定义为：

其中称 等价类 的 代表元.

记号 2 (等价类)

在无歧义的情况下, 亦可将 定义 1 (等价类) 简记为 或 .

3. 例子

例子 3 (模 的等价类)

在 整数 上定义 . 则共有三个 等价类：

4. 相关性质

命题 4 (等价类的相交判据)

设 为 集合, 为 上的 等价关系. 对任意 ：

证明 5 (等价类的相交判据)

充分性 ( )

若 , 则由 自反性 有 , 从而 , 故 .

必要性 ( )

若 , 取 , 则 且 . 由 对称性 与 传递性 得 . 对任意 , 由 得 , 故 ; 同理有 , 因此 .

命题 6 (等价类构成划分)

设 为 集合, 为 上的 等价关系, 为对应的 商集. 则其中的 等价类 构成 的 划分, 即：

证明 7 (等价类构成划分)

对任意 , 由自反性有 , 且 , 故 ; 反向包含关系由每个 均为 的 子集 得到. 此外, 若 且 , 则由 等价类的相交判据 有 , 因而不同 等价类 两两不交, 上式确为不交并.

5. 相关概念

• 等价关系
• 商集

6. 术语翻译

中文	英文
等价类	equivalence class
代表元	representative element

集合论