Weil 猜想

1. 概述

Weil 猜想 是关于有限域上代数簇计数与其 zeta 函数的定理族. 它把 代数几何、有限域 与拓扑式不变量联系起来, 为现代算术几何奠定基础.

2. 定义

定义 1 (Weil 猜想)

设 为 有限域 上维数为 的光滑射影 代数簇, 令 , 并定义：

固定素数 , 令：

Weil 猜想 断言：

1. 是有理函数;
2. 存在常数项为 的多项式 , 使得：

3. 满足精确的函数方程：

4. 若 , 则每个倒根 的任一复嵌入都满足 .

3. 例子

例子 2 (射影直线)

对 有限域 上的射影直线 , 有 , 从而：

该有理函数符合 Weil 猜想 的断言.

4. 相关性质

注记 3 (历史状态)

Weil 猜想后来由 Dwork、Grothendieck、Deligne 等人的工作逐步证明. 其中关于零点大小的估计通常称为 Weil 猜想的“Riemann 假设”部分.

5. 相关概念

• 有限域
• 代数簇
• 代数几何
• zeta 函数
• 上同调

6. 术语翻译

中文	英文
Weil 猜想	Weil conjectures
函数方程	functional equation
Riemann 假设	Riemann hypothesis for varieties

猜想 代数几何