有限域

1. 概述

于 环论 中, 有限域 是底层集合有限的 域. 有限域的元素个数必为素数幂, 且每个素数幂都对应唯一的有限域同构类型.

2. 定义

定义 1 (有限域)

称 域 为 有限域, 当其底层 集合 是 有限集.

3. 例子

例子 2 (素数阶有限域)

对每个 素数 , 整数模 环 是具有 个元素的 有限域.

例子 3 (九阶有限域)

设 为不定元. 多项式 在 中无根, 因而不可约, 故 商环 是 有限域. 以 表示 的剩余类, 则 , 且每个元素唯一写成 , 其中 , 所以共有 个元素. 其 特征 为 , Frobenius 自同态 将 映为 .

4. 相关性质

定理 4 (有限域的阶)

每个 有限域 的元素个数都形如 , 其中 为 素数, . 反之, 对每个 素数 的幂 , 存在一个含 个元素的 有限域, 且它在 同构 意义下唯一, 记为 .

命题 5 (有限域乘法群)

设 为含 个元素的 有限域, 则其 单位群 有 个元素.

证明 6 (有限域乘法群)

域 的每个非零元素都是 单位, 故 , 其 基数 为 .

5. 相关概念

• 域
• 整数模 环
• 有限群
• 环的特征
• Frobenius 自同态

6. 术语翻译

中文	英文
有限域	finite field