同伦等价

1. 概述

于 代数拓扑 中, 同伦等价 是将互逆条件放宽到 同伦 意义下的空间等价关系.

2. 定义

定义 1 (同伦等价)

设 为 拓扑空间. 连续映射 是 同伦等价, 当存在连续映射 , 使 且 , 其中 指 同伦. 此时称 与 同伦等价, 为 的同伦逆.

记号 2 (同伦等价)

拓扑空间 与 同伦等价 时, 记为 .

3. 例子

例子 3 (Euclid 空间与一点)

对 , 拓扑空间 到一点空间 的唯一映射, 与选取原点的映射互为 同伦等价. 复合到 的常值映射经 同伦 与恒等映射相连.

4. 相关性质

命题 4 (空间同伦等价的基本性质)

拓扑空间 的 同伦等价 满足：

1. ;
2. 蕴含 ;
3. 且 蕴含 .

证明 5 (空间同伦等价的基本性质)

由 同伦等价 的定义逐点验证：

1. 恒等映射以自身为同伦逆.
2. 交换一对同伦逆的角色即可.
3. 设 、 的同伦逆分别为 、. 由 同伦的基本性质 的 (3)、(4), 有 及 . 故 是 的同伦逆.
   

5. 相关概念

• 同伦
• 形变收缩
• 可缩空间

6. 术语翻译

中文	英文
同伦等价	homotopy equivalence
同伦逆	homotopy inverse

代数拓扑