基本群

1. 概述

于 代数拓扑 中, 基本群 将固定基点的闭合 道路 按 道路同伦 分类, 并用道路连接记录绕行的代数结构.

2. 定义

定义 1 (基本群)

设 为 拓扑空间, , . 所有满足 的 道路 的 道路同伦 类构成的 群, 称为 在 处的 基本群. 其乘法为 , 其中 在前半段为 , 后半段为 .

记号 2 (基本群)

基本群 记为 . 常值道路写作 , 反向道路写作 .

3. 例子

例子 3 (一点与圆)

一点空间的 基本群 只有常值道路类. 对圆 , 有 , 右侧为 整数加法群. 正向一圈 对应 , 绕行 圈对应 . 这一计算可由指数映射的道路提升得到, 不意味着圆上的所有闭路都能收缩到一点.

4. 相关性质

命题 4 (基本群的群结构)

设 为 拓扑空间, . 基本群 的乘法满足：

1. 乘法与 道路同伦 类代表元的选择无关;
2. 乘法满足结合律;
3. 单位元为 ;
4. 的逆元为 .

证明 5 (基本群的群结构)

按 基本群 的乘法逐点验证：

1. 由 道路同伦与连接相容 得到.
2. 两种括号仅改变三段道路所占的时间. 取依次遍历三段且各占三分之一时间的道路, 两种括号均为它的保端点重参数化. 对参数函数作线性插值即给出 道路同伦.
3. 添加常值段相当于允许参数在端点停留, 用参数函数与恒等函数的线性插值消去停留即可.
4. 可由 收缩到常值道路, 且端点固定. 对 使用同一构造即可验证另一侧逆元等式.
   

命题 6 (连续映射诱导基本群同态)

设 为 拓扑空间, 为 连续映射, . 则下式给出 基本群 之间的 群同态：

证明 7 (连续映射诱导基本群同态)

将 道路同伦 与 连续映射 复合仍固定相应端点, 因而 在 基本群 上良定义. 又 , 故 保持乘法, 是 群同态.

定理 8 (Seifert–van Kampen 定理)

设 拓扑空间 , 其中 为开子集, 且 均为 道路连通空间, . 则由包含映射诱导的 基本群 图是 群范畴 中的 推出：

即对任意 群 , 以及在交集基本群上相容的 群同态 、, 存在唯一同态 延拓 .

证明 9 (Seifert–van Kampen 定理)

存在性

对基于 的闭合 道路 , 利用区间的紧性将其分段, 使每段包含于 或 . 合并连续落在同一开集的段后, 每个切换点属于 . 以交集中的道路连接 与这些切换点, 将各段补成 或 内的基点闭路, 分别应用 或 后相乘. 改变连接道路产生的因子来自交集, 因而由相容性抵消; 细分一段仅将其因子拆成乘积. 对 道路同伦 将参数方形充分细分, 使每个小矩形的像落在 或 内. 每个小矩形的边界在该开集内可缩, 内部边按相反方向成对抵消, 交集上的比较由 的相容性处理, 因此乘积不随同伦改变. 这定义了 基本群 上的映射 ; 道路连接对应乘积, 故 是 群同态, 并延拓 .

唯一性

同一分段构造表明每个 基本群 元素都是来自 和 的闭路类的乘积. 延拓 的 群同态 在这些因子上的取值已确定, 故在整个基本群上唯一.

5. 相关概念

• 道路同伦
• 同伦等价
• 可缩空间
• 群

6. 术语翻译

中文	英文
基本群	fundamental group
基点	basepoint
闭路	loop

代数拓扑