同伦

1. 概述

于 代数拓扑 中, 同伦 是 连续映射 之间的连续变形, 是 同伦等价 和 基本群 的基础.

2. 定义

定义 1 (同伦)

设 为 拓扑空间, , 为 连续映射. 从 到 的 同伦 是连续映射 , 满足 与 对每个 成立. 乘积取积拓扑.

记号 2 (同伦)

存在从 到 的 同伦 时, 记为 . 有时写 .

3. 例子

例子 3 (直线同伦)

设 为 拓扑空间, 为 连续映射. 则 是从 到 的 同伦.

4. 相关性质

命题 4 (同伦的基本性质)

对 拓扑空间 之间的 连续映射, 同伦 满足：

1. 每个 都有 ;
2. 若 , 则 ;
3. 若 且 , 则 ;
4. 若 , 与 连续, 则 .

证明 5 (同伦的基本性质)

按 同伦 的定义构造 连续映射：

1. 取 .
2. 若 从 变到 , 取 .
3. 若 从 变到 , 从 变到 , 在 取 , 在 取 . 两段在闭子集交界处相等, 故粘接后连续.
4. 取 .
   

5. 相关概念

• 同伦等价
• 道路同伦
• 链同伦

6. 术语翻译

中文	英文
同伦	homotopy
同伦的映射	homotopic maps

代数拓扑