形变收缩

1. 概述

于 代数拓扑 中, 形变收缩 将空间连续压向一个子空间, 并在变形过程中保持该子空间的点不动. 它是构造 同伦等价 的具体方法.

2. 定义

定义 1 (形变收缩)

设 为 拓扑空间, 带 子空间拓扑, . 从 到 的 形变收缩 是 连续映射 , 满足：

1. 对每个 , ;
2. 对每个 , ;
3. 对每个 与 , .

注记 2 (约定)

本页的 形变收缩 采用全过程固定子空间的约定, 也称强形变收缩.

3. 例子

例子 3 (穿孔空间收缩到球面)

设 , , 均取 子空间拓扑. 公式 给出从 到 的 形变收缩, 因为系数恒正且单位向量全程不动.

4. 相关性质

命题 4 (形变收缩产生同伦等价)

设 拓扑空间 到子空间 存在 形变收缩 . 则包含映射 是 同伦等价.

证明 5 (形变收缩产生同伦等价)

定义 为 . 由 子空间拓扑 的性质, 是 连续映射. 按 形变收缩 的定义, , 而 是 与 之间的 同伦. 因而 是 的同伦逆.

5. 相关概念

• 同伦等价
• 可缩空间
• 子空间拓扑

6. 术语翻译

中文	英文
形变收缩	deformation retraction
强形变收缩	strong deformation retraction

代数拓扑