子空间拓扑

1. 概述

于 一般拓扑学 中, 子空间拓扑 是一个 拓扑空间 的子集从母空间继承的拓扑. 它使子集的包含映射连续, 并保留母空间的局部开集结构.

2. 定义

定义 1 (子空间拓扑)

设 为 拓扑空间, . 称：

为 从 继承的 子空间拓扑.

3. 例子

例子 2 (区间的子空间拓扑)

将 视为具有 通常拓扑 的 的 子空间, 则 在 中开, 因为 .

4. 相关性质

命题 3 (子空间的开闭集)

设 . 则：

1. 在 子空间拓扑 中开, 当且仅当存在 中 开集 使 ;
2. 在子空间拓扑中闭, 当且仅当存在 中 闭集 使 .

证明 4 (子空间的开闭集)

1. 这是 子空间拓扑 的定义.
2. 对第 1 条取补集并使用 .
   

命题 5 (映入子空间的连续性)

设 . 则 关于 子空间拓扑 连续, 当且仅当复合 连续.

证明 6 (映入子空间的连续性)

若 连续, 与连续包含映射复合仍连续. 反之, 对 中开集 , 有 , 由复合映射连续知其开.

5. 相关概念

• 拓扑嵌入
• 积拓扑
• 孤立点
• 连续映射

6. 术语翻译

中文	英文
子空间拓扑	subspace topology
拓扑子空间	topological subspace

一般拓扑