1. 概述 于 初等数论 中, 完全剩余系 从模 的每个 剩余类 中各选取一个代表元. 它把模 的全部同余情形压缩为有限个整数, 便于枚举和计算. 2. 定义 定义 1 (完全剩余系) 设 . 若 有限集 与模 的每个 剩余类 恰有一个公共元素, 则称 为模 的一个 完全剩余系. 3. 例子 例子 2 (标准完全剩余系) 对任意 , 集合 是模 的 完全剩余系. 集合 也是模 的完全剩余系. 4. 相关性质 命题 3 (完全剩余系的判据) 设 , 是含 个元素的 有限集, 并写作 . 则 是模 的 完全剩余系, 当且仅当 关于模 两两不同余. 证明 4 (完全剩余系的判据) 充分性 ( ) 若 是 完全剩余系, 则其中任意两个不同元素来自不同的 剩余类, 因而关于模 不同余. 必要性 ( ) 若 两两不同余, 则它们属于 个不同的模 剩余类. 由 剩余类对整数集的划分, 模 恰有 个剩余类, 故每个剩余类恰含 中的一个元素. 命题 5 (完全剩余系的仿射变换) 设 , 是模 的 完全剩余系, 且 . 则： 也是模 的完全剩余系. 证明 6 (完全剩余系的仿射变换) 由 完全剩余系 的定义与 完全剩余系的判据, 只需证明 中的 个整数 两两不同余. 若有： 则 . 由 同余式中的互素消去律 得 , 于是 . 5. 相关概念 剩余类 简化剩余系 同余 6. 术语翻译 中文英文完全剩余系complete residue system 初等数论