剩余类

1. 概述

于 初等数论 中, 剩余类 是整数关于模 同余 的等价类. 它把所有具有同一余数的整数归为一类, 是 完全剩余系、简化剩余系 以及整数模结构的共同基础.

2. 定义

定义 1 (剩余类)

设 , . 称 集合：

为 关于模 的 剩余类, 也称 的模 同余类.

记号 2 (剩余类)

当模数已明确时, 关于模 的 剩余类 简记为 .

3. 例子

例子 3 (模 的剩余类)

模 的 剩余类 共有：

例如 , 且 .

4. 相关性质

命题 4 (剩余类相等的判据)

设 , . 则两个 剩余类 满足：

证明 5 (剩余类相等的判据)

充分性 ( )

若 , 则 , 故 .

必要性 ( )

若 , 则对任意 , 由 同余是等价关系 可得

因而 .

命题 6 (剩余类对整数集的划分)

设 . 模 的不同 剩余类 恰为：

它们两两不交, 且 并集 为 . 因而模 恰有 个剩余类.

证明 7 (剩余类对整数集的划分)

对任意 , 由 整数上的带余除法, 存在唯一的 使 , 故 恰属于上述一个 剩余类. 因此这些剩余类覆盖 且两两不交.

5. 相关概念

• 同余
• 完全剩余系
• 简化剩余系
• 整数模 加法群
• 整数模 环

6. 术语翻译

中文	英文
剩余类	residue class

初等数论