有限集

1. 概述

于 集合论 中, 有限集 是能够与某个自然数所表示的标准集合一一对应的 集合. 这个自然数就是该集合的元素个数.

2. 定义

定义 1 (有限集)

若存在 以及 双射：

则称 集合 为 有限集.

记号 2 (有限序数)

对 , 记 . 因而 有限集 的定义也可写为存在 双射 .

3. 例子

例子 3 (基本例子)

• 空集 是 有限集, 因为 ;
• 单点集 与 等势;
• 对任意 , 是含有 个元素的有限集;
• 正整数 的正因数集 是有限集.

4. 相关性质

命题 4 (有限集的基本保持性质)

设 为 有限集, 则：

1. 的任意 子集 都是有限集;
2. 并集 是有限集;
3. Cartesian 积 是有限集.

证明 5 (有限集的基本保持性质)

1. 若 有 个元素, 则其 子集 至多含有这 个元素, 因而可与某个 建立 双射, 其中 .
2. 先分别列出 与 的元素, 再删去重复项, 即得到 并集 的一个有限列表.
3. 若 与 分别含 个元素, 则 Cartesian 积 中所有 -元组 可按两重有限下标列出, 共 个.
   

命题 6 (有限集自映射的单射与满射)

若 是 有限集, 为 映射, 则下列命题等价：

1. 是 单射;
2. 是 满射;
3. 是 双射.

证明 7 (有限集自映射的单射与满射)

若 , 唯一的空映射是 双射, 结论成立. 以下设 含有 个元素. 若 单射 不是 满射, 则其像集 至多含有 个元素, 不可能容纳 中 个彼此不同的像, 矛盾. 故 是满射.

若 满射 不是 单射, 则至少有两个不同元素具有相同的像, 从而 至多含有 个元素, 与 矛盾. 因此 也是单射, 即为 双射.

双射 按定义必为 单射.

5. 相关概念

• 无限集
• 可数集
• 基数
• 抽屉原理

6. 术语翻译

中文	英文
有限集	finite set

集合论