乘性函数

1. 概述

于 初等数论 中, 乘性函数 是把互素整数的乘法分解转化为函数值乘法的 算术函数. 因而它完全由 素数幂 处的取值决定.

2. 定义

定义 1 (乘性函数)

设 为 算术函数. 若 , 且对任意满足 的 均有：

则称 为 乘性函数.

3. 例子

例子 2 (典型乘性函数)

Euler 函数 、Möbius 函数 与每个 因数幂和函数 都是 乘性函数.

4. 相关性质

命题 3 (乘性函数由素数幂决定)

设 为 乘性函数, , 且由 算术基本定理 写其标准素因数分解为：

则：

证明 4 (乘性函数由素数幂决定)

由 算术基本定理, 各个素数幂 两两互素. 反复使用 乘性函数 的定义即得结论.

命题 5 (乘性函数对逐点乘法封闭)

若 为 乘性函数, 则逐点乘积 也是乘性函数.

证明 6 (乘性函数对逐点乘法封闭)

有 . 若 , 则：

因而 满足 乘性函数 的定义.

5. 相关概念

• 算术函数
• Dirichlet 卷积
• 素数

6. 术语翻译

中文	英文
乘性函数	multiplicative function

初等数论